第三部
一
理解运动的绝对连续性，是人类的智力力所不及的。只有从这种运动中随机截取若干片断进行分析，人类才能理解这一运动的规律。但与此同时，由于把连续运动切分为不连续片断的随意性，人类大部分的错误判断也由此而生。
古代有一个众所周知的悖论：说的是阿基琉斯[807]永远追不上他前面的乌龟，尽管阿基琉斯的速度比乌龟快十倍。因为每当阿基琉斯走完他和乌龟间的这段距离，乌龟就会向前爬这段距离的十分之一；阿基琉斯走完这十分之一的距离，乌龟又爬了这段距离的百分之一，以此类推，永无止境。这个问题在古人看来是无法解决的。导致这个问题（阿基琉斯永远也追不上乌龟）无法解决的原因，是把运动任意切分为不连续的单位，而实际上阿基琉斯和乌龟的运动是连续不断的。
我们所取的运动单位越小，也就越接近于问题的答案，但我们永远也不可能获得这个问题的最终答案。只有设想一个无穷小的数和由它产生的十分之一小的级数，算出这个几何级数的和，我们才能得到该问题的答案。数学当中的一个新领域已经有办法解决无穷小数的问题，因此在更加复杂的运动问题方面，以前认为是无法解决的问题，现在它都可以给出答案了。
这个古人未知的数学新领域在研究运动问题时，设想出无穷小的数，也就是使最主要的运动条件（绝对连续性）得以恢复的数，这样就可以纠正人脑不可避免要犯的错误，因为人脑不是去研究连续的运动，而是研究运动的个别单位。
在探索历史运动的规律时，同样如此。
人类的运动是无数人任意行为的结果，而这个运动是连续的。
了解这个运动的规律是基于历史学的目的。但要想了解人的任意行为总和的连续运动着的规律，人类的智能总是假想有任意的、不连续的单位存在。历史学的第一种方法，是随意抽取几个连续的事件，把它们独立于其它事件来分析，事实上，任何事件都没有、也不可能有开端，因为一个事件总是另一个事件的延续。第二种方法是把一个人的行动，比如沙皇或统帅，作为所有人的任意行为的总和来分析，而事实上，所有人的任意行为的总和永远不会表现在一个历史人物的活动中。
历史学在其发展中总是分析越来越小的单位，以求接近真理。但不论历史所取的单位多小，我们觉得，假设有孤立的单位存在，假设某一现象有开头，假设所有人的任意行为都表现于某一历史人物的活动中，那么这些假设本身就是错误的。
只要批评家所选取的作为观察对象的孤立单位更大或更小一些，他们就可以毫不费力地使任何历史结论土崩瓦解，不留下丝毫影响。批评家总是有权这样做，因为历史片断是可以随意切分的。
只有选取无穷小的单位作为观察对象——历史的微分，即人们共同的趋向，并且运用积分的方法（即获取这些无穷小数的总和），我们才有希望认识历史的规律。
十九世纪的前十五年，欧洲出现了数百万人参加的不同寻常的运动。人们放下自己平常做的事，从欧洲的一边跑到另一边，他们抢掠、残杀、狂喜、绝望，改变了几年间生活的进程，掀起了一场激烈的运动，这个运动始而来势汹汹，继而日渐衰退。人们的智力不禁要问：“这个运动的原因何在？它是按什么规律发展的？”
史学家在回答这个问题时，给我们叙述了巴黎的一幢楼房[808]里几十个人的言行，被其谓之曰“革命”。然后又详细地讲述了拿破仑和几个支持和反对他的人的生平，讲述了这当中一些人对另一些人的影响，最后说：这就是此次运动的原因，这就是此次运动的规律。
但人的理智不仅不相信这个解释，而且还直言不讳地说，这种解释方法是不对的，因为用这种方法解释的话，就把一个微不足道的现象当成了一个最重要现象的原因。人们任意行为的总和造就了革命和拿破仑，也正是这些任意行为的总和容忍了它并毁灭了它。
“然而，每当有征服，就有征服者；每当国家发生变革，就出现伟人”，历史学如是说。人的理智回答：确实，每当出现了征服者，就发生了战争，然而这并不能表明征服者就是战争的根源，也并不能在一个人的个人活动中找到战争的规律。每一次，当我看自己的表，看到时针指向十点，就听见附近的教堂在敲祈祷的钟声，但如果根据指针走到十点就开始敲祈祷的钟声，我无权得出结论说，时针的位置就是教堂钟声响起的原因。