再来分析几组有趣的算术题

　　　　　　再来分析几组有趣的算术题

　　　　　　　浙江奉化　　　焦永溢

　　好多年前，我曾对几道有趣的数学题作了一些分析，总结出这些题为何计算的结果会是有一定的规律（请去看《几道趣味算术题的分析》https://www.zww.cn/baike/o/7/7355.htm）。前几天3月14日是世界数学节，微信上疯传着几组非常有规律的数学题。这几组计算题为何有着这样有趣的规律呢？下面我就一一来作分析：



第一组：

1×8＋1＝9
12×8＋2＝98
123×8＋3＝987
1234×8＋4＝9876
12345×8＋5＝98765
123456×8＋6＝987654
1234567×8＋7＝9876543
12345678×8＋8＝98765432
123456789×8＋9＝987654321

这组算式的规律是：12345……这样从左到右每位递增的数×8＋与被乘数最后一位相同的数。
计算结果的规律是：98765……这样从左到右每位递减的数，位数与被乘数相同。

分析：

把8看成是10－1－1，
原式最后一行就变成：

123456789×8＋9
＝123456789×(10－1－1)＋9
＝1234567890－123456789－123456789＋9

列成竖式把最后的一个9加在上面：

　　　　 ＋9
　1234567890
－ 123456789
　1111111110

第一次减的时候，由于先加上了与减数末位一样的数，被减数最后一位由0变成了与减数最后一位相同，所以差的最后一位一定是0，而前面的每位被减数都是比减数大1，所以差的前面几位一定全是1。

第二次减的竖式：

　1111111110
－ 123456789
　　987654321

可以换个角度从这个竖式的逆运算来作分析：

　123456789
＋987654321
1111111110

要使和的个位数为0，两加数个位加起来必须是10，而10的1进到了十位，十位已经有了进上来的1，只有两加数的十位数加起来也是10，再与进上来的1相加成为11，而前面的这个1要进到百位去……，一步步这样推上去，两个加数每个位上的两个数加起来都必须是10，加起来的和才会是前面几位都是1，最后一位是0。一个加数是12345……这样从左到右递增的数，另一个加数只有是98765……这样递减的数，加起来才会是一连串的1和最后一个0。所以这组算式的答案一定是98765……这样递减的数。这个规律其实就是以前我分析过的珠算三盘清的规律。




第二组：

1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
123456×9＋7＝1111111
1234567×9＋8＝11111111
12345678×9＋9＝111111111
123456789×9＋10＝1111111111

这组算式的规律是：12345……这样从左到右每位递增的数×9＋比被乘数最后一位数大1的数。
计算结果的规律是：比被乘数的位数多了一位，并且每位上的数都是1。

分析：

把9看成是10－1，
原式最后一行就变成：

123456789×9＋10
＝123456789×(10－1)＋10
＝1234567890－123456789＋10

列竖式把最后一个要加的数10加在上面：

　　　　＋10
　1234567890
－ 123456789
　1111111111

被减数的个位是0，但有加在上面的这个数，这个数本来就是比被减数的个位数大1，所以个位的差一定是1。
而十位以上每一位都是被减数要比减数大1，所以这一组算式的答案就一定是一连串的1。
把这组算式的倒数第二行演变一下：

12345678×9＋9
＝(12345678＋1)×9
＝12345679×9

这就是我以前分析过的台湾小学生发现的计算器有趣现象。




第三组：

9×9＋7＝88
98×9＋6＝888
987×9＋5＝8888
9876×9＋4＝88888
98765×9＋3＝888888
987654×9＋2＝8888888
9876543×9＋1＝88888888
98765432×9＋0＝888888888

这组算式的规律是：98765……这样从左到右每位递减的数×9＋比被乘数最后一位小2的数。
计算结果的规律是：比被乘数的位数多了一位，并且每位上的数都是8。

分析：

把9看成是10－1，
原式最后一行就变成：

98765432×9＋0
＝98765432×(10－1)＋0
＝987654320－98765432＋0

列竖式把最后一个要加的数0加在上面：
　
　　　　＋0
　987654320
－ 98765432
　888888888

被减数个位是0，加在上面这个数本身就比减数最后一位小2，不够减只能向上一位借1成为10，原来还欠2现在加了10，减下来的结果肯定是8。前面几位对应的都是被减数比减数小1，但计算过程中都要被下一位减时借去1，所以实际上都成了每位上被减数比减数小2，经过向上一位借1成10，每位数减下来的结果都一定是8。最左边第一位的9被借走1后，自然也变成了8。所以这组算式最后的结果一定是一连串的8。




第四题

1×1＝1
11×11＝121
111×111＝12321
1111×1111＝1234321
11111×11111＝123454321
111111×111111＝12345654321
1111111×1111111＝1234567654321
11111111×11111111＝123456787654321
111111111×11111111＝12345678987654321

这组算式的规律是：被乘数和乘数都是连续的几个1。
计算结果的规律是：12345……54321这样从左到右每位先递增再递减的数，并且被乘数或乘数是连续几个1，结果中间最大的数也是几。

分析：

直接把这最后一行的乘法竖式列在下面：
　
　　　　111111111
　　　×111111111
　　　　111111111
　　　　1111111110
　　　11111111100
　　 111111111000
　　1111111110000
　　11111111100000
　111111111000000
1111111110000000
11111111100000000
12345678987654321

因为1×1永远都是1，所以看到竖式的上面部分全是1（后面的这些0其实平时是不用写的，一个0表示是十位数去乘的结果，二个0表示是百位数去乘的结果……依次类推）。乘数的各位数分别去乘被乘数时，得到的结果分别一行行（我们把横向的一排称为行）排列在下面，高位数乘时虽然后面不写0，但乘出来的结果每行都要向前移位，几个0就移几位。这样有规律的行排好后，竖向（我们把竖向的一排称为列）相加时也就有了规律，由于竖向每列相加时，每列的和都不超过9，不会产生进位而影响上一列的相加结果，所以可以从左到右一列列的来分析。最左边的第一列只有最后一行的第一个1，所以最下面的结果一定是1；第二列相加时，倒数第二行的第一个1加入到列中，所以最下面的结果一定是2；第三列相加时，倒数第三行的第一个1也加入了……，依次类推，每列相加时的1个数依次递增，所以最后计算结果是12345……这样每位依次递增的数。由于行数与列数是相等的，到了最后一行的最后一个1时，这一列中第一行的第一个1加入进来了，加起来达到最大（就等于行数或列数）。最大数出现后，再从左到右依次往下算，最后一行的后面是0（空），这列相加的结果就要减少1；再下一列时，倒数第二行的后面也是0（空）了，这列相加的结果又要减少1……，这样一列列的减少下去，直到最后只剩下第一排的最后一个1，就这样，这组算式结果的后半部分一定是……54321这样递减的数。