１、 一元钱到哪里去了？
三个学生住旅馆，服务员收费３０元。因此每个学生拿出了１０元，但是后来经理说今天特价，一共只收２５元。服务生退还了学生３元并拿了２元的小费。结果每个学生只出了９元，一共２７元，加上服务员的２元，才２９元（３×９＋２＝２９），那剩下的１元到哪里去了？
也有人把故事改编成这种形式：约翰推销他的旧电视３０元给三位妇女，结果每个妇女拿出１０元来。约翰发现他的电视只值２５元，于是他拿出２元钱作运输费，将其他３元钱退还给那三位妇女一人１元。结果仍然是３×９＋２＝２９，有１元钱不知去向。
这问题很容易蒙住粗心的人，但仔细一点就可看出名堂来。每个学生实际出了９元，一共２７元，其中２５元是住宿费，剩下２元被服务员拿走，应该做减法３×９－２＝２５。如果要做加法，则应该加上退还的３元，３×９＋３＝３０，不正是起初服务员收的３０元吗？因此根本不存在"一元钱到哪里去了"的问题。
这是一个悖论吗？有人说不是，不过是在陈述上故意作了误导。但美国的《科学美国人》编辑部曾经出版了一本书叫《从惊讶到思考：数学悖论奇景》，就收集了这个悖论。
２、 希帕索斯之过？
早在２５００年前，古希腊的毕达哥拉斯（公元前５７２－前４９７）学派虽然认识到了事物背后有数的法则，但是由于他们对数的崇拜和迷信，认为万物中的数只有整数和整数之比，只有整数才可以描述宇宙间的各种关系。但是，当一个叫希帕索斯的学生发现：边长为１的正方形，其对角线不可能用整数来表达，这就触犯了这个学派的信条。而天真的希帕索斯向外人透露了他的发现，结果被扔到了海里而丧身。但是他的发现却引起了数学思想的大革命，史称"第一次数学危机"。
可见，有些"悖论"并不是真正的悖论，而是佯谬，只是人们一时还没有找到解释的方法或不愿意正视现实罢了。《华盛顿邮报》上曾经有一篇文章介绍到：德国物理学家伦琴（１８４５－１９２３）发现了一个似乎矛盾的现象，一些照像纸放在实验室的防光袋子里，但是上面竟发生了萤光反应。虽然与知道的常识不合，他却发现了一个看不见的、未知的原因：Ｘ光（Ｘ表示未知的意思）。尽管这不是一个经典的悖论，没有导致两个相互矛盾的结果，但是说明了一种在科学上对付悖论的办法。同样，很多科学悖论也往往指出了一个未知的Ｘ因素，需要人们去发现。由此，人们也可以从逻辑"死结"里解脱出来，拓展一种全新的概念。
罗素悖论曾经震撼了整个数学界，而同时期出现的数学悖论还有布拉里·福蒂悖论、康托尔最大基数悖论、理查德（Ｊ．Ｒｉｃｈａｒｄ）悖论、培里（Ｐｅｒｒｙ）悖论和格瑞林（Ｋｕｒｔ Ｇｒｅｌｌｉｎｇ）悖论。直到哥德尔不完全定理，这些悖论的出现和解决方法的提出也极大地推动了数理逻辑的发展。
３、 落体佯谬
二千多年前，亚里斯多德认为"物体自由下落的速度和物体的重量成正比"。因此，"物体越重，下落的速度就越快；越轻，物体下落的速度越慢。"这一观察似乎接近日常生活的事实，除非在真空里，羽毛较石头落下的速度缓慢。因此，亚里士多德的理论看起来正好与人们的经验相符，所以两千年没有人怀疑过。但是，如果把它们绑在一起，下落得更快还是更慢？一方面，重量更大，应该落得更快；另一方面，快的物体也可能被慢的物体拖住，没有单独下落快。这两个推论是相互矛盾的。
十六世纪，伽利略的推理对亚氏学说提出了挑战。他的比萨斜塔实验证明：一对同样大小的木球和铅球同时落地，使这个佯悖解套。自由下落的物体，下落的速度与它的质量没有关系。它也是惯性定律、自由落体运动定律和广义相对论的一个实验基础。
４、孪生子佯谬 （Ｔｗｉｎ Ｐａｒａｄｏｘ）
爱因斯坦的成就之一，就是引进了一个定律Ｅ＝ｍ×ｃ的平方。其中，ｃ表示恒定的真空光速，被纳入自然常数之列，作为不可达到的最高临界速度。而光速恒定则引出了相对论的两个著名"佯谬"，它们曾经被人嘲讽为相对论的"荒诞无稽"的结论。
根据相对论，在高速状态下，时间就会相对应地减慢，当速度达到光速的９９．６％时，时间就相对地减慢一半。"孪生兄弟佯谬"是指以快速运动为参考系的钟，比静止参考系中的钟走得慢。根据这一结论，可以推测：一个乘飞船按接近光速的速度在太空旅行的人，当他返回地球的时候，就会比生活在地球上的孪生兄弟年轻。
假若有一对孪生兄弟，Ａ３５岁，Ｂ３５岁。如果Ａ乘驾太空船，以光速的９９．６％遨游太空３０年，当他返回地球时可能出现：
Ａ：３５岁＋３０年＝６５岁 Ｂ：３５岁＋６０年＝９５岁
在１９０５年，爱因斯坦的狭义相对论确立以前，牛顿的机械自然观统驭着人们的空间想象，因此无法解释这一现象。而"时间相对论化"的确立，取缔了牛顿"绝对时间"的概念，使"绝对运动"概念也失去了立足之地。
对于时间的不同变化节奏，在古代中国的传说中也有，多少与道教有点关系。例如，儿童五言诗："王子去求仙，丹成十九天。洞中方七日，世上已千年！"《醒世恒言》卷三十八里，李道人独步云门，一路想道："山中方七日，世上已千年。果然有这等异事！"这多半是古人的幻想。
５、 "会变的尺"
这是相对论引出的另一个"佯谬"：一把快速运动着的尺子，它和静止状态相比，在运动方向上长度缩短。这个问题是从迈克尔逊实验结果提出来的，后来形成了洛仑兹的机械收缩假说。爱因斯坦认为，这种收缩可以用两个参考系之间存在着的相对速度来解释（见聂运伟编着的《相对论的摇篮：爱因斯坦传》）。
６、 理想测量的悖论
在宏观世界里，一块石头自由落体准确可测，它按牛顿万有引力或重力定律发生作用。但是在量子物理学里，落下的不是石头，而是质量很小的电子，在微观世界里就会出现"测不准"的现象。在量子力学里，许多基本粒子一直处于某种不确定的可变化状态，打个比方，当你看到一块"石头"时，它是一块"石头"，这只是概率的一种；当你下次看到它时，它可能又是别的什么。德国物理学家海森伯（Ｗｅｒｎｅｒ Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ，１９０１－１９７６），１９３２年因提出测不准原理而获得诺贝尔物理学奖。
如果说相对论给了机械论物理学一个沉重的打击，那么量子力学的提出则标志着非机械论物理学的诞生。但是，爱因斯坦认为：量子力学是不完备的，一定有一个更好的理论使物理学家对实验结果作出确定的预期。他说："在宇宙中，上帝是不掷骰子的。"量子力学认为在测量之前没有什么是实在的，也无法预期。爱因斯坦质疑："难道月亮只有在你看它的时候才存在？！"这涉及到一个量子力学的适用范围问题。
７、 薛定谔的猫（Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ'ｓ Ｃａｔ）悖论
在日常观察中，一只猫非死即活，必居其一。而薛定谔的"猫"放在箱子却处于非死非活的叠加状态。这是薛定谔提出来的一个具有挑战性的难题。因为，按照量子力学的规则，箱子内的整个系统都处于两种态的叠加状态，这就是叠加原理（Ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ）。
"薛定谔猫"的实质是：宏观上是否存在量子般的叠加状态？"猫"从生与死的叠加状态过度到或生或死状态的区分点在哪里？这些难题有待物理学家的进一步探讨。
８、 ＥＰＲ佯谬
量子力学的另一个难题是"ＥＰＲ佯谬"。它是１９３５年，由爱因斯坦（Ｅｉｎｓｔｅｉｎ）、波多尔斯基（Ｐｏｄｏｌｓｋｙ）和罗森（Ｒｏｓｅｎ）在一篇《能认为量子力学对物理世界的描述是完备的吗？》的论文中提出来的。假设沿不同方向发射两个粒子，那么无论它们相隔多远，一旦测出其中一个，另外一个粒子的状态也就立刻确定下来了。但是按照相对论，这是不可能的，这个佯谬预示：量子关联现象表面上与相对论的因果关系是相矛盾的。
尽管量子力学已经广泛为人们所接受，但爱因斯坦关于其完备性的质疑对量子力学后来的发展产生了巨大影响，深化了量子力学对基本问题的探讨。
９、 蝴蝶效应
如果说北京有一只蝴蝶振翅一挥，就会引起纽约的一场风暴；或者形成飓风，影响全世界。你会相信吗？前后可以说是把风马牛不相及的事情扯在了一起，但在理论上它是可能的。
美国气象学家洛伦兹（Ｌｏｒｅｎｚ）正是受了一只振翅"蝴蝶"的启发，其图形是用方程组在计算机里模拟气流的运动得出来的，开创了一门新的学科：混沌学（Ｃｈａｏｓ）。有人称它为："本世纪继相对论和量子力学后的第三大科学发现。"１９７９年１２月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会上一语惊人："一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。""蝴蝶效应"学说不胫而走。
它的科学与哲学魅力在于：长期行为对初始条件有敏感的依赖性。初始条件带来微小变化的不断放大，对未来将造成巨大影响。正如中国古书所载"失之毫厘，谬以千里。"蝴蝶效应会受到许多其它因素的干扰，"蝴蝶振翅"与"风暴来临"绝不是简单的直接因果，而可能是复杂的连续因果。
１０、 夜空为什么是暗的？
这是有名的奥伯斯（Ｏｌｂｅｒｓ，Ｈｅｉｎｒｉｃｈ Ｗｉｌｌｈｅｌｍ）悖论：如果空间无限延展，而且星体均匀分布，我们的任何视线都应该碰到起码一颗星球。那么，天空不是应该一直都是明亮的吗？这个结论显然与事实不符。
这个问题早在１６１０年开普勒就注意到，直到１８２３年德国天文学家奥伯斯重新提出以后才广泛引起关注。过去有很多的猜测，如宇宙只有有限的星体、星体的分布不是均匀的、星体越远可视光越少，遥远的光还没有到达地球等等。"大爆炸"理论出现以后，宇宙的年龄不是无限的，被认为是一个最重要的原因。从"大爆炸"开始算起，宇宙距今有一百到两百亿年的历史。年轻的宇宙还没有时间将光充满夜空。
１１、 克隆羊年龄悖论
克隆羊多莉诞生以后，人们提出这样一个有趣的科学和哲学问题：它的"生物年龄"和"出生年龄"可能不符。多莉的ＤＮＡ取自一个六岁的老羊，多莉的出生年龄已有三岁，按ＤＮＡ推测，它的生物年龄应该是九岁。换句话讲，它既克隆了基因，也克隆了年龄。人们怀疑"多莉是穿着羔羊服装的老羊"而衰老比正常羊的速度快。人们不禁要问，从一个五十岁的人那里克隆出来的克隆人可以生活多久？这个问题有待克隆技术的进一步发展和观察实验才能有进一步的答案。
１２、 中医现代化悖论
二十世纪初以前，很少有人怀疑中医的合理性。中医要现代化，就要与现代科学接轨，但是如果用科学实证的方法来加以鉴别，就会发现中医体系里既有科学的成分，又有非科学性的成分，两者之间交织在一起，因果关系复杂，深入研究下去就会发现这是一个二律背反（张其成《中医学的构建与发展──中医现代化悖论》）。
而破解中医现代化悖论的途径就是既要继承其科学的一面，又要抛弃其非科学的一面；既要发扬自身的长处，又要学习西医的优点。在西方科学的冲击下，"百年困惑"的中医大体走过了从２０年代末的"废止旧医"，５０年代的"团结中西医"，到今天中医现代化的曲折过程。中医现代化之时也就是悖论解套之时，同样，这有赖于中医的进一步研究与发展。
１３、 金带与怪圈
《科学美国人》的撰稿人霍夫斯塔特在其《ＧＥＢ：一条永恒的金带》一书中，找到了一条贯穿哥德尔理论、费舍尔的名画和巴赫音乐的"金带"，这就是思维中的"自指"，他称之为"怪圈"。
凡是看过的人都知道，荷兰艺术大师费舍尔的作品常常源于悖论，尤其是以艺术形式展现的视觉怪圈。其艺术感染力让人倾倒，其怪圈的魔力让人震撼。
例如，在他的名画《画画的双手》里，左手在画右手的同时，右手也在画左手。那么到底是左手画出了右手，还是右手画出了左手？它表达了和柏拉图－苏格拉底悖论（即：后面这句话是错的，前面这句话是对的）同样的意境，两者总是自相缠绕在一起。
在《瀑布》里，沿着费舍尔的"流水"，水居然可以"从下往上流的"，与生活中的常识相违背；在《上升和下降》里，走进费舍尔的殿堂，无论你如何分辨，都会觉得天衣无缝，但又与现实世界不可调和。
《相对性》，在费舍尔的"台阶"上，无论你爬了多少级台阶，绕了一圈都会回到原来的位置；同样，无论你下了多少级台阶，也会回到原来的地方。就像是在缪毕乌丝带上运行，在有限中体现了无限的过程。
在费舍尔的《画廊》里，你已经站到了画中的某一个位置；在《举着反光球的手》中也表达了强烈的的自我相关。其《逆行卡农》也和巴赫《音乐的奉献》中的片断有异曲同工之效。
本文对悖论的划分分为八种，如果从更广泛的角度来看，还有文化悖论、历史悖论（例如"汉武悖论"）、谚语中的悖论、音乐中的悖论、理论体系悖论、社会现象悖论，等等。我们就不在这里作一一探讨。而真正的悖论将具有永久的魅力。